Peluang: Rangkuman Materi dan Contoh Soal

Table of Contents

Rangkuman Materi Peluang Disertai contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Materi Peluang Disertai contoh soal dan Pembahasan

Salam sobat omahinfo,

Apakah Anda pernah memainkan uang koin atau dadu. Dimana dadu memilki 6 sisi dan uang koin memiliki 2 sisi. Ketika dadu atau uang koin dilempar berapa kesempatan tiap sisi dari dadu atau uang koin? Berapa kali tiap sisi muncul? Apakah Anda pernah berpikiran bahwa setiap sisi yang muncul bisa diperkirakan atau prediksi. Konsep atau prediksi ini dalam ilmu matematika dikenal dengan peluang. Dalam artikel ini akan menjelaskan rangkuman materi peluang yang disertai contoh soal dan pembahasan secara lengkap dan detail.

Kejadian yang terjadi pada pelemparan dadu dan uang koin, dimana Anda bisa menentukan berapa banyak kemunculan dari setiap sisi merupakan salah satu contoh dari penerapan rumus peluang matematika. Materi peluang matematika seca lebih luas dan mendalam tidak hanya pada bidang matematika atau statiska, tetapi juga dalam hal bidang keuangan, sains dan filsafat.

Sebelum lebih mendalam mempelajari rangkuman materi peluang matematika, langkah lebih baik Anda mempelajari apa itu pengertian atau teori peluang. Untuk lebih lengkapnya, mari simak penjelasan dibawah ini.

Pengertian Peluang

Peluang atau probabilitas mempunyai arti sebagai kesempatan. Sedangkan dalam matematika, peluang adalah kemungkinan yang terjadi atau muncul dari sebuah peristiwa. Contohnya biasanya sering Anda gunakan dalam kehidupan sehari-hari,misalnya kemungkinan menang 40%.

Munculnya peluang dari sebuah kejadian dari suatu peristiwa dalam matematika dikuru dengan menggunakan angka. Kemunculan sebuah peluang selalu berkisar antara 0 sampai dengan 1. Dimana angka "0" menyatakan sebuah kejadian yang tidak mungkin terjadi dan angka "1" menyatakan sebuah kejadian yang pasti terjadi, yang mana dalam ilmu matematika dinotasikan sebagai berikut:

$0\leq P\left ( K \right )\leq 1$

Keterangan

$P\left ( K \right )$ = Peluang Kejadian

Sebelum Anda mempelajari permutasi, kombinasi dan materi lainnya, Anda lebih baik mempelajari tentang beberapa istilah dalam peluang matematika. untuk lebih lengkapnya simak penjelasan dibawah ini. 

Istilah Dalam Peluang

Dalam pembahasan materi peluang nantinya Anda akan sering mendengarkan beberapa istilah yang sering disebutkan. Istilah dalam peluang yang akan sering Anda dengarkan sebagai berikut:

Percobaan

Istilah dalam peluang yang pertama yaitu percobaan yang menunjukan fenomena peluang yang sedang terjadi. Contohnya percobaan melemparkan koin ataupun 2 buah dadu. Da 2 sifat dasar dari sebuah percobaan yaitu:

• Setiap percobaaan mempunyai kemungkinan kejadian atau hasil yang akan muncul atau terjadi.
• Hasil dari setiap percobaan dari yang Anda lakuin, mempunyai kemungkinan hasil yang sulit ditentukan.

Merujuk contoh diatas pada pelemparan 2 buah dadu, Anda akan mempunyai 36 kemungkinan perpaduan dari 2 buah dadu yang Anda lempar. Jika hanya pada percobaan uang koin Anda akan mempunyai kemungkinan antara kepala atau ekor yang akan muncul.

Ruang Sampel, Titik Sampel dan Kejadian

Selain istilah percobaan, Anda juga akan menemukan beberpa istilah penting laiinya seperti ruang sampel, titik sampel dan kejadian. untuk lebih jelasnya mari kita simak penjelasannya dibawah ini:

• Ruang Sampel adalah himpunanan dari semua hasil percobaan yang mungkin terjadi dalam peluang. Dimana pada ruang sampel banyak mengandung hasil percobaan( banyaknya titik sampel), maka biasanya dinotasikan dengan simbol $n\left ( S \right )$, dengan n adalah jumlah banyaknya titik dalam ruang sampel.
• Titik Sampel adalah anggota atau bagian dari ruang sampel
• Kejadian adalah himpunan dari beberapa titik sampel yang membentuk kelompok sampel, tapi bukan ruang sampel.

Untuk lebih jelasnya penerapan isitlah diatas, perhatikan contoh berikut ini:

Budi melempar 2 buah uang koin sebanyak sekali. Gambar Angka di misalkan dengan huruf "A" dan gmabar ekor atau burung imisalkan dengan huruf "B".

Dari contoh diatas didapatkan

• Kejadian: Kejadian yang mungkin terjadi pada pelemparan koin adalah AA, AG, GA dan GG.
• Titik Sampelnya adalah AA atau AG atau GA atau GG.
• Ruang sampel pada pelemparan dua mata koin ini adalah $n\left ( S \right )=4$.

Kaidah Pencacahan

Ketika Anda bepergian ke suatu tempat, tiba-tiba awan mendung berkumpul disekitar Anda isertai dengan hembusan angin yang berbeda dari keadaan normal. Kemudian dalam benak Anda berpikir, kemungkinan besar akan turun hujan.

Tanpa kalian sadari, Anda telah menerapkan teori peluang. Dalam mempelajari peluang, Anda tidak akan lepas dengan kaidah pencacahan.

Kaidah pencacahan sendiri merupakan sebuah ilmu atau cara yang mengatur untuk menghitung banyaknya hasil yang memungkinkan terjadi dari sebuah percobaan tertentu. Ada beberapa hal dasar yang harus Anda pahami dalam mempelajari kaidah pencacahan yaitu 

Aturan Perkalian

Jika sebuah kejadian pertama dapat terjadi dalam $n_{1}$ cara dan kejadian kedua dapat terjadi dalam $n_{2}$ cara, maka pasangan kejadian itu dirumuskan menjadi

$n_{1}\times n_{2}$ cara

Keterangan

$n_{1}$= kejadian pertama

$n_{2}$= kejadian kedua

Contoh Soal 1

Paijo mempunyai 4 buah celana dengan berbeda satu sama lain. Selain itu, juga memiliki 6 baju dengan dengan berbeda satu sama lain. Tentunkan banyak pasang cara Paijo untuk memilih celana dan baju?

Pembahasan

Diketahui:

misal celana= c

         baju= b

$n_{c}=4$

$n_{b}=6$

Ditanya $n_{bc}$?

Jawab

$n_{bc}=n_{c}\times n_{b}$

$\rightarrow n_{bc}=4\times 6$

$\rightarrow n_{bc}=24$ 

Jadi banyak pasang cara Paijo untuk memilik baju dan celana adalah $24$ cara.

Faktorial

Dalam ilmu matematika, Faktorial dari bilangan bulat positif dari "n" adalah sebuah hasil perkalian dari bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan "n'. Faktorial dinotasikan dengan $n!$ dan dibaca n faktorial. Bentuk umum faktorial sebagai berikut:

n! = n . (n -1) . (n – 2) ... 3 . 2 . 1

Catatan Khusus $0!= 1! = 1$

$2!=2.1=2$

$3!=3.2.1=6$

$4!=4.3.2.1=24$, dan seterusnya

Supaya Anda lebih memahami faktorial, berikut beberapa contoh yang akan menjabarkan tentang faktorial

Contoh Soal 2

Tentukan nilai faktorial dari $\frac{10!\times 5!}{8!\times 4!}$ ?

Pembahasan

Diketahui:

$\frac{10!\times 5!}{8!\times 4!}$

Ditanya: Nilai Faktorial?

Jawab:

$\frac{10!\times 5!}{8!\times 4!}$

$\rightarrow \frac{10.9.8!\times 5.4!}{8!\times 4!}$ $ (\text {hilangkan angka 8! dan 4!})$

$\rightarrow 10.9\times 5$

$\rightarrow 450$

Jadi nilai faktorial dari $\frac{10!\times 5!}{8!\times 4!}$ adalah $450$.

Contoh Soal 3

Tentukan nilai faktorial dari $\frac{7!+5!}{6!}-\frac{6!}{5!}$

Pembahasan

Diketahui:

 $\frac{7!+5!}{6!}-\frac{6!}{5!}$

Ditanya: Nilai Faktorial?

Jawab:

$\frac{7!+5!}{6!}-\frac{6!}{5!}$

$\rightarrow \frac{7!+5!}{6!}-\frac{6.6!}{6.5!}$

$\rightarrow \frac{7.6.5!+5!}{6.5!}-\frac{6.6!}{6.5!}$

$\rightarrow \frac{5!\left (7.6+1 \right )}{6.5!}-\frac{6.6!}{6.5!}$

$\rightarrow \frac{5!\left (42+1 \right )}{6.5!}-\frac{6.6.5!}{6.5!}$

$\rightarrow \frac{5!\left (43\right )-6.6.5!}{6.5!}$

$\rightarrow \frac{5!\left (43-(6.6)\right )}{6.5!}$

$\rightarrow \frac{5!\left (43-36\right )}{6.5!} $

$\rightarrow \frac{5!.7}{6.5!}$ $(\text {hilangkan angka 5!})$

$\rightarrow \frac{7}{6}$

Jadi nilai faktorial dari $\frac{7!+5!}{6!}-\frac{6!}{5!}$ adalah  $\frac{7}{6}$

Permutasi

Tadi Anda telah belajar mengenai aturan perkalian, Faktorial, maka sekarang tiba waktunya Anda belajar tentang materi permutasi. 

Permutasi adalah suatu susunan elemen-elemen yang berbeda dalam suatu urutan tertentu (urutan diperhatikan) tanpa ada elemen yang sama. Atu bisa dikatakan permutasi merupakan cara menyusun suatu unsur secara urut dan urutan itu berbeda.

Permutasi di kelompokkan menjadi 5, diantaranya sebagai berikut:

1. Permutasi n Elemen

Artinya setiap permutasi ini terdiri dari n elemen. Permutasi n Elemen dirumuskan sebagai berikut:

$_{n}P_{n}=n!$

Untuk lebih jelasnya simak soal dibawah ini.

Contoh Soal 4

Pada sebuah perhelatan olahraga yang diikuti 6 negara, pihak penyelengara pasti akan memasangkan bendera-bendera tersebut. Berapa banyak cara atau pola pihak penyelenggara dalam menyusun bendera-bendera tersebut?

Pembahasan

Diketahui: $n=6$

Ditanya: Berapa banyak cara (P)?

Jawab:

$_{6}P_{6}=6!$

${5}P_{5}=6!$

$\rightarrow _{6}P_{6}=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1$

$\rightarrow _{6}P_{6}= 720$

Jadi ada 720 cara untuk menyusun bendera-bendera tersebut.

2. Permutasi r Elemen dari n Elemen

Artinya Setiap permutasi ini terdiri dari r dan n elemen, dimana nilai $r< n$. Permutasi ini dirumuskan sebagai berikut:

$_{n}P_{r}=\frac{n!}{\left (n-r  \right )!}$

Untuk lebih jelasnya simak soal dibawah ini.

Contoh Soal 5

Tahun ini Dusun di Solo akan mengadakan pemilihan Kadus, Sekretaris dan RW. Terdapat 10 Calon yang mendaftar. Berapa banyak cara yang bisa diterapkan dalam memilih bakal pengisi ketiga kursi di dusun tersebut?

Pembahasan

Diketahui: Banyak Calon, $n=10$

Jabatan Yang harus diisi, $r=3$

Ditanya: Banyak cara (P)?

Jawab:

$_{n}P_{r}=\frac{n!}{\left (n-r  \right )!}$

$\rightarrow _{10}P_{3}=\frac{10!}{\left (10-3  \right )!}$

$\rightarrow _{10}P_{3}=\frac{10!}{7!}$

$\rightarrow _{10}P_{3}=\frac{10\times 9\times 8\times 7!}{7!} \left (\text {Hilangkan 7!}  \right )$

$\rightarrow _{10}P_{3}=10\times 9\times 8$

$\rightarrow _{10}P_{3}=720$

Jadi ada 720 cara atau pola kemungkinan 3 kandidat perangkat dusun tesebut.

Contoh Soal 6

Sebuah organisasi memiliki pengurus yang teriri dari ketua, wakil dan sekretaris yang mana akan dipilih dari 7 orang. Berapa banyaknya cara yang mungkin untuk memilih dengan tidak ada jabatan yang rangkap?

Pembahasan

Diketahui: jabatan yang kosong=$r=\text {ketua+wakil+sekretaris=3}$

$n=7$

Ditanya: Cara yang mungkin (n)?

Jawab:

$_{n}P_{r}=\frac{n!}{\left (n-r  \right )!}$

$\rightarrow _{7}P_{3}=\frac{7!}{\left (7-3  \right )!}$

$\rightarrow _{7}P_{3}=\frac{7!}{4!}$

$\rightarrow _{7}P_{3}=\frac{7\times 6\times 5\times 4!}{4!} $$\text{Hilangkan 4!}$

$\rightarrow _{7}P_{3}=7\times 6\times 5$

$\rightarrow _{7}P_{3}=210$

Jadi ada 210 cara yang memungkinkan untuk memilih pengurus organisasi tsb

3. Permutasi n Elemen, Jika Ada Elemen Yang Sama

Artinya permutasi ini mempeunyai beberapa unsur yang sama. Permutasi ini dirumuskan sebagai berikut:

$_{n}P_{k,q}=\frac{n!}{k!q!}$

Catatan: k dan q adalah elemen-elemen yang sama, dimana $k+q\leq n$. Untuk lebih jelasnya simak soal dibawah ini.

Contoh Soal 7

Tentukan banyaknya cara dalam menyusun kata "OOAMAMMMMOOMMAA"?

Pembahasan

Diketahui: $n=15$

Huruf "O", $n=4$

Huruf "A", $n=4$

Huruf "M", $n=7$

Ditanya: Banyaknya cara (P)?

Jawab

$_{n}P_{k,q}=\frac{n!}{k!q!}$

$_{15}P_{4,4,7}=\frac{15!}{4!\times 4!\times7!}$

$\rightarrow _{15}P_{4,4,7}=\frac{15\times 14\times 13\times 12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7!}{4!\times 4!\times7!} (\text {hilangkan 7!})$

$\rightarrow _{15}P_{4,4,7}=\frac{15\times 14\times 13\times 12\times 11\times 10\times 9\times 8}{4!\times 4!}$

$\rightarrow _{15}P_{4,4,7}=450.450$

Jadi ada 450.450 cara untuk menyusun kata diatas.

4. Permutasi Siklis

Artinya permutasi untuk penyusunan melingkar. Permutasi ini dirumuskan sebagai berikut:

$P=\left ( n-1 \right )!$

Untuk lebih jelasnya simak soal dibawah ini.

Contoh Soal 8

Waktu makan telah tiba, Keluarga Ani beranggotakan 6 orang dan mereka akan makan dimeja makan bebentuk lingkaran. Berapa banyak cara untuk susunan yang bisa ditemukan dari anggota keluarga tersebut?

Pembahasan

Diketahui: $n=6$

Ditanya: Banyaknya Cara (P)?

Jawab:

Karena mejanya berbentuk lingkaran sehingga duduk melingkar, mak digunakan permutasi siklis

$P=\left ( n-1 \right )!$

$\rightarrow P=\left ( 6-1 \right )!$

$\rightarrow P=5!$

$\rightarrow P=120$

Jadi ada 120 cara yang bisa ditemukan.

5. Permutasi Berulang dari n Elemen

Artinya permutasi berulang dari n elemen dan k elemen.  Permutasi ini dirumuskan sebagai berikut:

$P_{n}= n^{k}$

Untuk lebih jelasnya simak soal dibawah ini.

Contoh Soal 9

Tentukan banyaknya susunan 2 bilangan dari angka-angka berikut ini 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7?

Pembahasan

Diketahui: 

Banyaknya susunan 2 bilangan, artinya bilangan puluhan, maka $k=2$

Disusun dari angka-angka berikut ini 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7, maka $n=7$

Ditanya: Banyaknya susunan (P)?

Jawab:

$P_{n}= n^{k}$

$P_{n}= n^{k}$

$\rightarrow P_{7}= 7^{2}$

$\rightarrow P_{7}= 49$

Jadi ada 49 cara yang bisa di susun

Contoh Soal 10

Tentukan nilai n yang memenuhi $(n-1)!=3!$ adalah

Pembahasan

Diketahui: $(n-1)!=3!$

Ditanya: nilai n?

Jawab:

$(n-1)!=3!$

$\rightarrow (n-2)(n-1)=3\times 2\times 1$

$\rightarrow n^{2}-3n+2=6$

$\rightarrow n^{2}-3n+2-6=0$

$\rightarrow n^{2}-3n-4=0$

$\rightarrow (n-4)(n+1)=0$

Sehingga didapat

$(n-4)=0$

$\rightarrow n=4$

atau

$(n+1)=0$

$\rightarrow n=-1 (\text{tidak memenuhi})$

Jadi nilai n yang memenuhi adalah $n=4$.

Kombinasi

Setelah Anda tadi mempelajari tentang permutasi, sekarang Anda akan mempelajari tentang Kombinasi. Apa pengertian kombinasi? Untuk mempermudahnya, simak penjelasannya dibawah ini.

Kombinasi adalah cara menyusun suau unsur dengan objek yang berbeda yang mana tidak memperhatikan urutannya. Kombinasi biasanya di notasikan dengan huruf "C". Berikut rumus kombinasi:

$_{n}C_{r}=\frac{n!}{r!\left (n-r\right )!}$ 

Untuk lebih jelasnya, pahami contoh dibawah ini

Contoh Soal 11

Dari 12 peserta kontes kecantikan akan dipilih yang masuk nominasi, akan dipilih 4 nominasi terbaik secara acak. Berapa banyak pilihan yang dapat dilakukan?

Pembahasan

Diketahui: $n=12$

$r=4$

Ditanya: Banyaknya pilihan (C)?

Jawab:

$_{n}C_{r}=\frac{n!}{r!\left (n-r\right )!}$

$\rightarrow _{12}C_{4}=\frac{12!}{4!\left (12-4\right )!}$

$\rightarrow _{12}C_{4}=\frac{12!}{4!\times 8!}$

$\rightarrow _{12}C_{4}=\frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8!}{4!\times 8!} (\text {Hilangkan 8!})$

$\rightarrow _{12}C_{4}=\frac{12\times 11\times 10\times 9}{4\times 3\times 2\times 1}$

$\rightarrow _{12}C_{4}=\frac{11880}{24}$

$\rightarrow _{12}C_{4}=495$

Jadi ada 495 pilihan yang memungkinkan.

Contoh Soal 12

Sebuah grup musik orkestra membutuhkan 3 pemain gitar dan 2 pemain biola. Jika ada pelamar posisi gitar sebanyak 6 orang dan pemain biola 4 orang. Tentukan banyak pilihan yang memungkinkan?

Pembahasan

Diketahui: misal gitar= g dan biola=b

$n_{g}=6$

$r_{g}=3$

$n_{b}=4$

$r_{b}=2$

Ditanya: Banyak pilihan (C)?

Jawab:

$_{n_{g}}C_{r_{g}}\times _{n_{b}}C_{r_{b}}=\frac{n_{g}!}{r_{g}!\left (n_{g}-r_{g}\right )!}\times \frac{n_{b}!}{r_{b}!\left (n_{b}-r_{b}\right )!}$

$\rightarrow _{n_{6}}C_{r_{3}}\times _{n_{4}}C_{r_{2}}=\frac{6!}{3!\left (6-3\right )!}\times \frac{4!}{2!\left (4-2\right )!}$

$\rightarrow _{n_{6}}C_{r_{3}}\times _{n_{4}}C_{r_{2}}=\frac{6!}{3!\times 3!}\times \frac{4!}{2!2!}$

$\rightarrow _{n_{6}}C_{r_{3}}\times _{n_{4}}C_{r_{2}}=\frac{6\times 5\times 4\times 3!}{3!\times 3!}\times \frac{4\times 3\times 2!}{2!2!}$

$\rightarrow _{n_{6}}C_{r_{3}}\times _{n_{4}}C_{r_{2}}=\frac{6\times 5\times 4}{3\times2\times 1}\times \frac{4\times 3}{2\times 1}$

$\rightarrow _{n_{6}}C_{r_{3}}\times _{n_{4}}C_{r_{2}}=20 \times 6$

$\rightarrow _{n_{6}}C_{r_{3}}\times _{n_{4}}C_{r_{2}}=120$

Jadi ada 120 cara atau pilihan yang dapat dilakukan.

Binomial Newton

Setelah Anda belajar kombinasi, mari kita simak tentang binomial newton yang tak kalah penting dalam materi peluang ini. Binomial Newton adalah sebuah teorema yang menggambarkan terkait pengembangan eksponen-eksponen dari penjumlahan dua variabel (binomial). 

Dalam binomial newton terdapat koefisien-koefisien $(a+b)^{n}$. Untuk lebih jelas, kita ambil contoh nilai n=2, maka didapat $(a+b)^{2}=(1)a^{2}+(2)ab+(1)b^{2}$.

Koefisien-koefisien hasil penjabaran $(a+b)^{2}$ adalah 1, 2 dan 1 yang mana itu senilai dengan $C_{(2,0)}$, $C_{(2,1)}$, dan $C_{(2,2)}$, sehingga bisa ditulis sebagai berikut: $(a+b)^{2}=C_{(2,0)}a^{2}+C_{(2,1)}ab+C_{(2,2)}b^{2}$.

Dari rumus diatas bisa didapat bentuk umum rumus formula Binomial Newton sebagai berikut:

$(a+b)^{n}=C_{(n,0)}a^{2}+C_{(n,1)}a^{n-1}+C_{(n,2)}a^{n-2}+...+C_{(n,r)}a^{n-r}b^{r}+C_{(n,n)}b^{n}$

Atau Ditulis dengan Notazi sigma

$(a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n} C_{(n,r)}a^{n-r}b^{r}$

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal dibawah ini.

Contoh Soal 13

Tentukan suku ke-6 dari $(2x+y)^{9}$?

Pembahasan

Diketahui: $(2x+y)^{9}$

$a=2x$

$b=y$

$n=9$

$r=6-1=5$

Ditanya: suku ke-6?

Jawab:

$C_{(n,r)}a^{n-r}b^{r}$

$\rightarrow C_{(9,5)}2x^{9-5}b^{5}$

$\rightarrow _{9}C_{5}2x^{4}b^{5}$

$\rightarrow \frac{9!}{5!(9-5)!}\left (2x \right )^{4}b^{5}$

$\rightarrow \frac{9!}{5!\times 4!}16x^{4}b^{5}$

$\rightarrow \frac{9\times 8\times 7\times 6\times 5!}{5!\times 4\times 3\times 2\times 1}16x^{4}b^{5} \left (\text {Hilangkan 5!}  \right )$

$\rightarrow \frac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}16x^{4}b^{5}$

$\rightarrow 126\times 16x^{4}b^{5}$

$\rightarrow 2016x^{4}b^{5}$

Jadi suku ke-6 adalah $2016x^{4}b^{5}$

Peluang Kejadian, Frekuensi Harapan dan Kejadian Majemuk

Setelah di tas Anda belajar tentang istilah yang ada adalam peluang seperti peluang, ruang sampel, titik sampel dan kejadian. Kali ini Anda akan mempelajari cara menghitung peluang suatu kejadian, frekuensi harapan  dan Kejadian Majemuk. Untuk lebih lengkapnya, simak penjelasan dibawah ini.

Peluang Kejadian

Peluang kejadian akan menunjukan kepada Anda sebesapa besar kemungkinan yang terjadi pada suatu kejadian. Untuk itu dalam peluang kejadian memerlukan informasi mengenai ruang sampel, titik sampel dan kejadian yang terjadi.

Dalam dal ini ruang sampel dari sebuah percobaan dengan masing -masing anggota mempunyai kesempaan yang sama. Sebagai contoh pada pelemparan 2 buah mata uang koin, mempunyai ruang sampel "4" dengan titik sampelnya AA, AG, GA dan GG. 

Peluang munculnya pasangan AA adalah perbandingan banyak kejadian yang muncul dibagi dengan jumlah ruang sampel percobaan itu. Sehingga didapatkan rumus bentuk umum peluang kejadian sebagai berikut:

$P\left ( A \right )=\frac{n\left ( A \right )}{n\left ( S \right )}$

dengan $0< P\left ( A \right )< 1$

Keterangan

$A$ = Kejadian

$n(A)$ = Banyaknya Anggota dalam Kejadian A yang diharapkan muncul

$n(S)$ = Banyakanya Anggota dalam Himpunan Ruang Sampel

$P\left ( A \right )$ = 1, Artinya Kejadian Itu Pasti

$P\left ( A \right )$ = 0, Artinya Kejadian Itu Mustahil

Contoh Soal 14

Ada sebuah dadu dilempar sekali, tentukan peluang muncul bilangan prima pada pelemparan dadu tersebut?

Pembahasan

Diketahui: 

$S= \left (1, 2, 3, 4, 5, 6  \right ) \rightarrow n(S)=6$

Bilangan Prima $(B)= \left (2, 3, 5  \right )  \rightarrow n(B)=3$

Ditanya: Peluang bilangan prima/ $P(B)$ ?

Jawab:

$P\left ( B \right )=\frac{n\left ( B \right )}{n\left ( S \right )}$

$\rightarrow P\left ( B \right )=\frac{3}{6}$

$\rightarrow P\left ( B \right )=\frac{1}{2}$

Jadi peluang muncul bilangan prima pada pelemparan sekali sebuah dadu adalah $\frac{1}{2}$.

Baca Juga: Rangkuman Materi Perbandingan

Peluang Komplemen Sebuah Kejadian

Komplemen dari sebuah kejadian misalkan $A$ adalah himpunan semua kejadian yang bukan $A$. Sehingga didapatkan rumus peluang komplemen sebuah kejadian sebagai berikut:

$P\left ( A \right )+P\left ( \bar{A} \right )=1$

$P\left ( \bar{A} \right )=1-P\left ( A \right )$

Keterangan 

$P\left ( A \right )$ = Suatu Peluang dari Kejadian A.

$P\left ( \bar{A} \right )$= Suatu Peluang Kejadian Bukan A.

Untuk semakin mempermudah pemahaman Anda, imaklah contoh dibawah ini.

Contoh Soal 15

Dalam ujian matematika SMA kelas 10, Paijo memeiliki peluang lulus ujian sebesar 75%. Maka Tentukan peluang paijo tidak lulus ujian matematika?

Pembahasan

Diketahui:

misal kejadian ujian matematika =$M$

$P\left ( M \right )$=75%=$0,75$

Ditanya: Peluang paijo tidak lulus /$P\left ( \bar{M} \right )$?

Jawab:

$P\left ( \bar{M} \right )=1-P\left ( M \right )$

$\rightarrow P\left ( \bar{M} \right )=1-0,75$

$\rightarrow P\left ( \bar{M} \right )=0,25$

Jadi peluang paijo tidak lulus ujian matematika adalah $0,25$ atau 25%.

Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan adalah kemungkinan banyaknya kejadian yang terjadi jika dilakukan percobaan sebanyak n-kali atau hasil kali banyaknya percobaan dengan peluang kejadian.

Jika sebuah percobaan dilakukan sebanyak n-kali serta nilai kemungkikan berlangsung kejadian A pada setiap percobaan adalah $P(A)$ , sehingga didapar rumus umum Frekuensi Harapan sebagai berikut:

$Fh\left ( A \right )= P\left ( A \right )\times n$

Untuk lebih memahami tentang frekuensi harapan, simaklah contoh ibawah ini.

Contoh Soal 16

Sebuah dadu dilempar sebanyak 90 kali, maka tentukan frekuensi harapan munculnya mata dadu faktor dari 6?

Pembahasan

Diketahui: 

$S= \left (1, 2, 3, 4, 5, 6  \right ) \rightarrow n(S)=6$

Faktor dari mata dadu $6= \left (1, 2, 3, 6  \right ) \rightarrow n(A)=4$ 

Banyaknya lemparan= $n=90$

Ditanya: frekuensi harapan munculnya mata dadu faktor dari 6/$Fh\left ( A \right )$?

Jawab:

$P\left ( A \right )=\frac{n\left ( A \right )}{n\left ( S \right )}$

$\rightarrow P\left ( A \right )=\frac{4}{6}$

$\rightarrow P\left ( A \right )=\frac{2}{3}$

Sehingga didapat frekuensi harapan

$Fh\left ( A \right )= P\left ( A \right )\times n$

$\rightarrow Fh\left ( A \right )= \frac{2}{3}\times 90$

$\rightarrow Fh\left ( A \right )= 60$

Jadi frekuensi harapan munculnya mata dadu faktor dari 6 adalah 60 kali.

Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk adalah sebuak kejadian baru yang terbentuk dari perlakuan dua atau lebih kejadian. 

Sebagai gambarannya seperti ini, Anda diminta mengambilkan karung bola mainan warna warni di dalam rumah. Tapi tiba-tiba adik berlari ke arah Anda ketika Anda membawa karung bola tersebut. Dan adik Anda meminta bola kepada Anda. 

Anda pasti secara acak akan mengambil kan sebuah bola. Jika kita pikirkan, berapa peluang misal bola warna merah terambil? Anda bisa menemukan jawabannya ketika mempelajari materi peluang bagian kejadian majemuk. Terdapat beberapa kategori atau klasifikasi kejadian majemuk, diantaranya:

Kejadian Tidak Saling Lepas/ Sembarang

Kejadian tidak saling selepas atau sembarang terjadi, jika ada dua kejadian A dan B terjadi secara bersama-sama. Rumus kejadian tidak saling lepas/sembarang sebagai berikut:

$P\left ( A\cup B \right )= P\left ( A \right )+P\left ( B \right )-P\left ( A\cap B \right )$

Untuk lebih memahami kejadian majemuk tidak saling lepas/ sembarang, maka perhatikan contoh dibawah ini.

Contoh Soal 17

Diketahui dalam sebuah kelas terdapt 50 siswa, terdapat 25 siswa yang suka dengan mapel Fisika, 35 siswa suka mapel Matematika serta sisa 15 siswa yang suka kedua mapel. Jika dipilih seorang siswa secara acak, maka tentukan peluang siswa yang terpilih adalah siswa yang menyukai Fisika ataupun Matematika?

Pembahasan

Diketahui:

$n(S)=50$

Suka Fisika(F),$n(F)=25$

Suka Matematika(M),$n(M)=35$

Suka keduanya, $n\left ( F\cap M \right )=15$

Ditanya: Peluang siswa terpilih yang suka fisika atau matematika/$P\left ( F\cup M \right )$?

Jawab:

$P\left ( F\cup M \right )= P\left ( F \right )+P\left ( M \right )-P\left ( F\cap M \right )$

$\rightarrow P\left ( F\cup M \right )= \frac{25}{50}+\frac{35}{50}-\frac{15}{50}$

$\rightarrow P\left ( F\cup M \right )= \frac{45}{50}$

$\rightarrow P\left ( F\cup M \right )= \frac{9}{10}$

Jadi peluang siswa yang terpilih adalah siswa yang menyukai Fisika ataupun Matematika adalah $\frac{9}{10}$.

Kejadian Saling Lepas

Kejadian saling lepas terjadi, jika ada dua kejadian A dan B tidak terjadi secara bersama-sama. Rumus kejadian saling lepas sebagai berikut:

$P\left ( A\cup B \right )= P\left ( A \right )+P\left ( B \right )$

Untuk lebih memahami kejadian majemuk saling lepas, maka perhatikan contoh dibawah ini.

Contoh Soal 18

Pada pelemparan sebuah dadu, tentukan peluang muncul mata dadu 2 atau 5?

Pembahasan

Diketahui:

$n(S)=6$

mata dadu 2 (A),$n(A)=1$

mata dadu 5 (B),$n(B)=1$

Ditanya: Peluang Muncul mata dadu 2 atau 5/ $P\left ( A\cup B \right )$ ?

Jawab:

$P\left ( A\cup B \right )= P\left ( A \right )+P\left ( B \right )$

$\rightarrow P\left ( A\cup B \right )= \frac{1}{6}+\frac{1}{6}$

$\rightarrow P\left ( A\cup B \right )= \frac{2}{6}$

$\rightarrow P\left ( A\cup B \right )= \frac{1}{3}$

Jadi Peluang Muncul mata dadu 2 atau 5/ $P\left ( A\cup B \right )\frac{1}{3}$

Kejadian Saling Bebas

Kejadian saling bebas terjadi, jika keduanya, A dan B tidak saling mempengaruhi. Rumus kejadian saling bebas sebagai berikut:

$P\left ( A\cap B \right )= P\left ( A \right )\times P\left ( B \right )$

Untuk lebih memahami kejadian majemuk saling bebas, maka perhatikan contoh dibawah ini.

Contoh Soal 19

Paijo dan Darno adalah teman sekelas. Ada sebuah soal yang mereka bedua harus kerjakan. Jika peluang Paijo menyelesaikan soal 0,6, sedangkan Darno mempunyai peluang 0,5. Tentukan peluang mereka berdua menyelesaikan soal tersebut?

Pembahasan

Diketahui:

Misalkan 

$Paijo= A\rightarrow P\left ( A \right )= 0,6$

$Darno= B\rightarrow P\left ( B \right )= 0,5$

Ditanya: Peluang mereka berdua menyelesaikan soal tersebut/$P\left ( A\cap B \right )$ ?

Jawab:

$P\left ( A\cap B \right )= P\left ( A \right )\times P\left ( B \right )$

$\rightarrow P\left ( A\cap B \right )= 0,6 \times 0,5$

$\rightarrow P\left ( A\cap B \right )= 0,3$

Jadi peluang Paijo dan Darno menyelesaikan soal tersebut adalah $0,3$

Kejadian Bersyarat

Kejadian bersyarat terjadi, jika keduanya, A dan B saling mempengaruhi. Secara singkat peluang bersyarat adalah peluang yang tergantung pada peluang kejadian lain. Rumus kejadian bersyarat sebagai berikut:

Peluang kejadian $B$ dengan syarat $A$ terjadi adalah

$P\left (B/A \right )=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

dimana $P\left (B/A \right )$ adalah peluang kejadian bersyarat $B$ dengan syarat $A$ terjadi. Untuk lebih memahami kejadian majemuk saling bebas, maka perhatikan contoh dibawah ini.

Contoh Soal 20

Dibawah ini tabel status alumni sebuah universitas di Solo yang lulus tahun 2017 menurut status bekerja dan jenis kelamin

	Bekerja	Belum Kerja	Jumlah
Laki-Laki	1200	300	1500
Perempuan	800	700	1500
Jumlah	2000	1000	3000

Jika dipilih secara acak seorang alumni, tentukan peluang:

1. Alumni laki-laki
2. Alumni yang bekerja
3. Alumni laki-laki dan bekerja
4. Alumni yang bekerja dengan syarat dia adalah laki-laki?
5. Alumni yang bekerja dengan syarat dia adalah perempuan?
6. Alumni perempuan dengan sayarat dia belum bekerja?

Pembahasan

Diketahui:

Misal

$n(S)=3000$

Laki= $(A_{1})$

Perempuan= $(A_{2})$

Bekerja= $(B_{1})$

Belum Bekerja= $(B_{2})$

Laki-Laki dan Bekerja $(A_{1}\cap B_{1})\rightarrow n(A_{1}\cap B_{1})=1200$

Perempuan dan Bekerja $(A_{2}\cap B_{1})\rightarrow n(A_{2}\cap B_{1})=800$

Laki-Laki dan Belum Bekerja $(A_{1}\cap B_{2})\rightarrow n(A_{1}\cap B_{2})=1200$

Perempuan dan Bekerja $(A_{2}\cap B_{2})\rightarrow n(A_{2}\cap B_{2})=800$

Ditanya: Tentukan peluang:

1. Alumni laki-laki ?
2. Alumni yang bekerja ?
3. Alumni laki-laki dan bekerja ?
4. Alumni yang bekerja dengan syarat dia adalah laki-laki?
5. Alumni yang bekerja dengan syarat dia adalah perempuan?
6. Alumni perempuan dengan sayarat dia belum bekerja?

Jawab: 

Sebelumnya saya akan mengubah tabel diatas ke dalam bentuk peluang.

Misalnya untuk peluang laki dan bekerja 

$P(A_{1}\cap B_{1})=\frac{n(A_{1}\cap B_{1}}{n(S)}$

$\rightarrow P(A_{1}\cap B_{1})=\frac{1200}{3000}$

$\rightarrow P(A_{1}\cap B_{1})=\frac{4}{10}$

$\rightarrow P(A_{1}\cap B_{1})=0,4$

dan berlaku seterusnya sampai hasilnya seperti ditabel dibawah ini

	$B_{1}$	$B_{2}$	$B$
$A_{1$}$	0,4	0,1	0,5
$A_{2}$	0,27	0,23	0,5
$A$	0,67	0,33	1

Peluang Alumni laki-laki/$P(A_{1})= 0,5$

Peluang Alumni yang bekerja/$P(B_{1})= 0,67$

Peluang Alumni laki-laki dan bekerja/$P(A_{1}\cap B_{1})= 0,4$

Peluang Alumni yang bekerja dengan syarat dia adalah laki-laki

$P\left (B_{1}/A_{1} \right )=\frac{P(A_{1} \cap B_{1} )}{P(A_{1})}$

$\rightarrow P\left (B_{1}/A_{1} \right )=\frac{0,4}{0,5}$

$\rightarrow P\left (B_{1}/A_{1} \right )=0,8$

Peluang Alumni yang bekerja dengan syarat dia adalah perempuan

$P \left (B_{1}/A_{2} \right )=\frac{P(A_{2} \cap B_{1} )}{P(A_{2})}$

$\rightarrow P\left (B_{1}/A_{2} \right )=\frac{0,27}{0,5}$

$\rightarrow P\left (B_{1}/A_{2} \right )=0,5$

Peluang alumni perempuan dengan syarat dia belum bekerja?

$P\left (A_{2}/B_{2} \right )=\frac{P(A_{2} \cap B_{2} )}{P(B_{2})}$

$\rightarrow P\left (A_{2}/B_{2} \right )=\frac{0,23}{0,33}$

$\rightarrow P\left (A_{2}/B_{2} \right )=0,697$

Kesimpulan

Itulah rangkuman materi peluang yang berisi pengertian, istilah penting, kaiah pencacahan, faktorial, permutasi, kombinasi, kejadian majemuk baik sembarang hingga bersyarat yang setiap pokok materi disertai contoh soal dan pembahasan yang mudah dan lengkap. Jika ada yang kurang atau keliru dalam artikel materi peluang ini atau ada yang ingin ditanyakan, silahkan ketik di kolom komentar dibawah. Semoga materi pertama dari pelajaran matematika SMP ini bermanfaat dan terima kasih.