Logika Matematika: Rangkuman Materi dan Contoh Soal

Table of Contents

Rangkuman Materi Logika Matematika disertai Contoh Soal dan Pembahasan

Rangkuman Materi Logika Matematika Lengkap, source: omahinfo.com

 

Salam sobat omahinfo,
Setelah Anda mempelajari tentang materi Matriks, Kali ini Anda akan mempelajari materi Logika Matematika. Ternyata Matematika tidak hanya mempelajari tentnag hitung menghitung saja, terbukti bahwa materi logika wajib dipelajari dalam matematika.

Mungkin Anda sebagai murid laki-laki mempunyai pemikiran "Kenapa matematika harus pakai logika segala?", sedangkan murid perempuan mempunyai pemikiran "Logika kan urusan laki-laki! Perempuan kan pakainya perasaan" hehehe..

Logika matematika mempunyai hubungan erat dengan ilmu kompoter dan logika filosofis. Logika matematika sendiri memberikan Anda pembelajaran menngenai landasan tentang bagaimna cara Anda untuk mengambil sebuah kesimpulan sehingga kedepannya Anda tidak asal menduga sesuatu. Dalam artikel ini Anda akan mendaptakan ringkasan materi logika matematika disertai contoh soal dan pembahsannya. Ayo, kita belajar bersama tentang materi logika matematika.

Pengertian Logika Matematika

Logika Matematika adalah logika  yang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol, bukan dengan perasaan atau pengalaman.

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Source: wikipedia

Logika mempelajari cara penalaran seorang manusia, sedangkan penalaran seseorang diungkapkan dalam bahasa  berupa kalimat-kalimat.Jadi bisa dikatakan bahwa logika mempelajari kalimat-kalimat yang  mengungkapkan atau merumuskan penalaran manusia.

Proposisi atau Pernyataan

Proposisi atau pernyataan dalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tetapi tiadak bisa bernilai keduanya sekaligus. Benar atau salah suatu proposisi atau pernyataan disebut dengan nilai kebenaran dan nilai kebenaran tergantung pada realitas.

Proposisi dibagi menjadi 2 yaitu

1. Peposisi Sederhana (tidak mengandung kata peghubung)
2. Proposisi Majemuk (terdiri dari satu atau lebih pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan kata penghubung).

Proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan kalimat tanya atau perintah.

Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), sedangkan pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S (salah). Nilai kebenaran suatu pernyataan kadang-kadang ditulis dengan lambang angka 1 atau 0. Angka 1 ekuivalen dengan nilai kebenaran B, sedangkan angka 0 ekuivalen dengan nilai kebenaran S. Lambang nilai kebenaran 1 dan 0 biasanya digunakan untuk menganalisis suatu jaringan listrik

Contoh:  

1. Bangkok adalah ibukota Thailand (pernyataan tertutup yang bernilai benar)
2. 9 adalah bilangan genap (pernyataan tertutup yang bernilai salah)
3. 8 + 5 = 13 (pernyataan tertutup yang bernilai benar).
4. 3 lebih besar daripada 5 (pernyataan tertutup yang bernilai salah)

Kebenaran suatu pernyatan dibedakan menjadi dua, yaitu:

1. Kebenaran faktual, yaitu kesesuaian antara isi peryataan dan fakta sesungguhnya.
2. Kebenaran logis, yaitu kesesuaian dengan aturan-aturan logika.

Dalam ilmu pengetahuan kita selalu berbicara mengenai obyek-obyek yang terbatas, tidak mengenai segala sesuatu. Keseluruhan obyek-obyek (terbatas) yang menjadi bahan pembicaraan disebut semesta pembicaraan atau semesta saja dan disingkat dengan huruf "S". Berbicara tentang semesta ada dua lambang didalamnya yaitu

1. Konstanta, adalah lambang yang digunakan untukmenunjuk atau membicarakan anggota tertentu darisemesta.
2. Peubah, adalah lambang yang digunakan untuk menunjukatau membicarakan anggota yang tidak tertentu (sembarang) dari semesta.

Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah sebuah kalimat yang memuat peubah, sehingga belum dapat di tentukan nilai kebenarannya. 

Contoh:        

1. $x+3>10$
2. $x^{2}+4=0$    
3. $x^{2}-x-6=0$

Anda bisa mengubah sebuah kalimat terbuka menjadi peryataan dengan cara dengan mengganti (mensubstitusikan) semua peubah yang termuat di dalamnya dengan konstanta dari semesta. Pernyataan yang dihasilkan bisa bernilai benar atau bernilai salah.

Himpunan penyelesaian dari sebuah kalimat terbuka ialah himpunan semua anggota dari S yang bila disubstitusikan ke dalam peubah dari kalimat terbuka itu akan menghasikan pernyataan yang benar. Contoh himpunan penyelesaiaan dari contoh kalimat terbuka diatas yaitu:

Contoh:     

       $S=\left \{ \text {bilangan asli} \right \}$    

1. $x+3>10\rightarrow HP=\left \{ 8,9,10,11,... \right \}$
2. $x^{2}+4=0\rightarrow HP=\left \{ \text {-2 atau 2}\right \}$    
3. $x^{2}-x-6=0\rightarrow HP=\left \{ 3\right \}$

 

Negasi/ Ingkaran

Ingkaran atau Negasi dari sebuah pernyataan adalah peernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata "tidak" atau menyisipkan kata "bukan" pada pernyataan semula atau juga bisa dikatakan sebagai pernyataan yang menyangkal. Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang $\overline{p}$ atau $-p$ atau $\sim p$. Jika pernyataan P bernilai benar, maka inkarannya bernilai salah dan berlaku sebaliknya.

Tabel Kebenaran

p	$\sim p$
B	S
S	B

Contoh :

1. Nama admin omahinfo.com adalah dedi_i (benar);  Tidak benar jika nama admin omahinfo.com adalah dedi_i (salah).
2. Manusia berjalan dengan tangan (salah); Manusia tidak berjalan dengan tangan (benar).  

 

Pernyataan Majemuk

Pernyataan Majemuk adalah suatu pernyataan yang terdiri dari beberapa penyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Dalam Logika Matematika terdapat 4 macam kata hubung, diantaranya:  

1. ...dan...
2. ...atau...
3. jika ...,maka... 
4. ... jika dan hanya jika ...

Contoh :     

1. Yogyakarta adalah kota pelajar dan  (Yogyakarta) memiliki  begitu banyak objek wisata.  
2. Paijo pergi  ke kampus atau dia bermain ke rumah teman.
3. Bila  air dipanaskan, maka itu akan mendidih.
4. Matematika adalah pelajaran yang mudah bila dan hanya bila kamu rajin belajar.

Beberapa contoh pernyataan majemuk diatas disebut: konjungsi ($\wedge$), disjungsi ($\vee$), implikasi ($\rightarrow $), dan ekuivalensi/biimplikasi ($\leftrightarrow$). Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh: nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan tunggalnya dan kata hubung apa yang digunakan. Karena masing-masing pernyataan tunggalnya bisa bernilai benar atau salah, maka ada empat kemungkinan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk. 

Baca Juga: Materi Matriks SMA Lengkap

 

Kata Hubung Pada Pernyataan Majemuk

Dalam ilmu matematika ada 5 kata hubung kalimat diantaranya:

1. Negasi/ Kontradisi/ Ingkaran ($\sim $)

ngkaran atau Negasi dari sebuah pernyataan adalah peernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata "tidak" atau menyisipkan kata "bukan" pada pernyataan semula atau juga bisa dikatakan sebagai pernyataan yang menyangkal.Untuk lebih jelasnya silahkan lihat kembali penjelasan Ingkaran diatas.

 

2. Konjungsi/ Dan ($\wedge$)

Konjungsi adalah pernyatan majemuk yang mengggunakan kata hubung "dan" yang mana dilambangkan dengan "$∧$. Suatu konjungsi bernilai benar, hanya bila kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar, selain itu salah.

Contoh:

1. Indonesia adalah Negara Republik dan berpenduduk lebih dari 200 juta jiwa.
2. Sapi berkaki empat dan dapat terbang.

Tabel Kebenaran Konjungsi

p	q	$p\wedge q$
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

 

3. Disjungsi/ Atau  ($\vee$)

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunkakan kata hubung "atau" yang dilambangkan dengan "$∨$". Suatu disjungsi bernilai salah, hanya bila kedua pernyataan tunggalnya bernilai salah, selain itu benar atau juga bisa dikatakan bernilai benar bila sekurang- kurangnya salah satu pernyataan tunggalnya benar.

Dalam Logika Matematika juga dibedakan dua macam “disjungsi/ atau“ Yang pertama disebut Disjungsi Inklusif (dengan lambang ”$∨$”) dan yang kedua disebut Disjungsi Eksklusif (dengan lambang ”$\underline{v}$”).

Definisi:  

• Suatu disjungsi inklusif bernilai benar bila sekurang- kurangnya salah satu pernyataan tunggalnya benar.
• Suatu disjungsi eksklusif bernilai benar bila salah satu (dan tidak kedua-duanya) dari pernyataan tunggalnya benar.

Contoh:

1. Pak Budi berlangganan majalah tekno atau pertanian.
2. Dedi_i pergi ke perpustakaan atau ke kantin.
3. $3\leq 7$ (3 kurang dari atau sama dengan 7).
4. $A\cup B$ adalah himpunan semua elemen yang menjadi anggota himpunan A atau himpunan B.
5. Jika dalam soal tidak dikatakan apa-apa soal disjungsi berarti itu disjungsi inklusif. 

Tabel Kebenaran Disjungsi

p	q	$p\vee q$
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

 

4. Implikasi/ Kondisional / Pernyataan bersyarat ($\rightarrow $)

Implikasi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung "jika..., maka..."yang dilambangkan dengan "$→$". Pernyataan tunggal pertama dinamakan anteseden dan yang kedua dinamakan konsekuen. Dalam penggunaan bahasa sehari-hari, memakai implikasi mempunyai bermacam-macam arti, seperti:

1. Menyatakan suatu syarat: "Jika Anda tidak membayar, maka Anda tidak bisa masuk".
2. Menyatakan suatu hubungan sebab akubat: "Jika Aldi kehujanan, maka dia akan sakit".
3. Menyatakan suatu tanda: "Jika bel berbunyi, maka murid harus masuk ke kelas masing-masing".

Suatu Implikasi bernilai salah, jika antesenden benar dan konsekuennya salah, selain itu bernilai benar. Untuk menyatakan suatu implikasi sebagai suatu pernyataan yang benar ada 3 cara yaitu dengan

1. “Jika A, maka B”   
2. “B jika A”
3. “A hanya jika B” (karena jika tidak B   atau B salah, maka juga tidak A atau A salah; lihat baris keempat tabel kebenaran implikasi)

 Contoh:

1. Jika Aryi adalah seorang pria, maka ia akan mempunyai kumis.
2. Jika bumi berputar dari timur ke barat maka matahari akan terbit disebelah barat.
3. Jika $4>1$, maka $7>5$
4. Jika $3<2$, maka $–3>–2$

Tabel Kebenaran Implikasi

p	q	$p\rightarrow q$
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

 

5. Biimplikasi/ Bikondisional/ Pernyataan Bersyarat Ganda ($\leftrightarrow$)

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung "jika dan hanya jika". Dalam Biimplikaasi akan bernilai benar jika kedua pernyataan memiliki nilai yang sama yaitu keduanya benar semua atau salah semua.

Contoh
Sebuah segitiga disebut segita sama kaki, jika dan hanya jika segitiga itu memiliki kedua sisi yang sama panjang.

Tabel Kebenaran Biimplikasi

p	q	$p\leftrightarrow q$
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

 

Hal-Hal Lain Yang Perlu Anda Ketahui (Ekuivalensi, Konvers, Invers dan Kontraposisi)

Selain diatas masih rumus formula penting yang harus Anda pelajari seperti Ekuivalensi, Konvers, Invers dan Kontraposisi. Ekuivalensi yang sering disimbolkan "$\equiv $". Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai tabel kebenaran sama. Berikut ini beberapa formula Ekuivalensi $\left (\equiv\right )$, Konvers, Invers dan Kontraposisi diantaranya:

1. $p\wedge q=\varnothing $
2. $p\vee p\equiv s\equiv semesta$
3. $p\rightarrow q\equiv \sim q\rightarrow \sim p\equiv \sim p\vee q$
4. $p\leftrightarrow q\equiv \left ( \sim p\vee q \right )\wedge \left ( p\vee \sim q \right )$
5. $\sim \left ( p\wedge q \right )\equiv \sim p\vee \sim q$
6. $\sim \left ( p\vee q \right )\equiv \sim p\wedge \sim q$
7. $\sim \left ( p\rightarrow q \right )\equiv p\wedge \sim q$
8. $\sim \left ( p\leftrightarrow q \right )\equiv \left ( p\wedge \sim q \right )\vee \left ( \sim p\wedge q \right )$
9. Invers, $p\rightarrow q= \sim p\rightarrow \sim q$
10. Konvers, $p\rightarrow q= q\rightarrow p$
11. Kontraposisi, $p\rightarrow q= \sim q\rightarrow \sim p$ 

Tabel Kebenaran Konvers, Invers dan Kontraposisi

p	q	$p\rightarrow q$	$\text {Konvers}\\ \left (q\rightarrow p \right )$	$\text {Invers}\\ \left (\sim p\rightarrow \sim q \right )$	$\text {Kontraposisi}\\ \left (\sim q\rightarrow \sim p \right )$
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	B	S
S	B	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B

 

Contoh Soal 1

Tentukan invers dari pernyatan $\left ( p\wedge \sim q \right )\rightarrow p$?

Pembahasan

Diketahui: $\left ( p\wedge \sim q \right )\rightarrow p$

Ditanya: Inversnya ?

Jawab:

Ingat rumus invers : $p\rightarrow q= \sim p\rightarrow \sim q$

dari rumus invers diatas, maka diadapat: $\sim \left ( p\wedge \sim q \right )\rightarrow \sim p$

                                                                 $\left ( \sim p\vee q \right )\rightarrow \sim p$

Jadi invers dari pernyatan $\left ( p\wedge \sim q \right )\rightarrow p$ adalah $\left ( \sim p\vee q \right )\rightarrow \sim p$

 

Penarikan Kesimpulan

Penarikan kedimpulan adalah sebuah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk majemuk atau premis atau argumen atau ide pemikiran dengan aturan-aturan yang telah ditetapkan. Penarikan kesmpulan dalam logika matematika bisa dikatakan sama dengan mendapatkan argumen yang tidak akan bertentangan dengan premis-premisnya. Untuk menarik kesimpulan Anda harus mematuri aturan-aturan atau metode yang telah ditetapkan. Ada 3 metode penarikan kesimpulan dalam logika matematika, diantaranya:

1. Modus Ponens

Modus Ponen adalah sebuah modus atau metode yang mana dalam penarikan kesimpulan ditandai dengan adanya premis 1 adalah sebuah pernyataan majemuk implikasi dan premis 2 adalah sebuah pernyataan tunggal. Berikut ini formula modus ponens:

Premis 1:     $p\rightarrow q$
Premis 2:     $p$
Konklusi:    $q$

Contoh Modus Ponens
Premis 1: Jika hanya BBM naik, maka harga barang naik.
Premis 2: Harga BBM naik.
Konklusi: Jadi Harga Barang naik.

2. Modus Tolens

Modus Tolens adalah sebuah modus atau metode yang mana dalam penarikan kesimpulan ditandai dengan adanya premis 1 adalah sebuah pernyataan majemuk implikasi dan premis 2 adalah sebuah negasi atau ingkaran pernyataan tunggal. Berikut ini formula modus tolens:

Premis 1:     $p\rightarrow q$
Premis 2:     $\sim q$
Konklusi:     $\sim p$

Contoh Modus Tolens
Premis 1: Jika Budi diterima sebagai pegawai, maka dia lulus tes.
Premis 2: Budi tidak lulus tes.
Konklusi : Jadi Budi tidak diterima sebagai pegawai.

3. Silogisme

Silogisme adalah sebuah modus atau metode yang mana dalam penarikan kesimpulan ditandai dengan adanya premis 1 dan 2 adalah sebuah pernyataan majemuk implikasi. Berikut ini formula silogisme:

Premis 1:     $p\rightarrow q$
Premis 2:     $q\rightarrow r$
Konklusi:    $p\rightarrow r$

Contoh Silogisme
Premis 1: Jika Andi rajin belajar, maka dia menjadi pandai.
Premis 2: Jika ANdi menjadi pandai, maka dia lulus ujian.
Konklusi : Jika Andi rajin belajar, maka dia lulus ujian

 

Contoh  Soal 2

Ditentukan pernyataan $p$ dan $q$ serta $\sim q$ adalah ingkaran atau negasi dari $p$. Pernyataan $\sim p\vee \left ( q\vee \sim p \right )$ senilai dengan...

A. p        B. q         C.  $\sim p$        D. $p\rightarrow q$         E. $\sim q$

Pembahasan

Diketahui: pernyataan $p$ dan $q$ serta $\sim q$

                 $\sim q=p$

                 $\sim p\vee \left ( q\vee \sim p \right )$

Ditanya:  $\sim p\vee \left ( q\vee \sim p \right )$ senilai dengan?

Jawab: 

Cara Biasa

Dengan menggunakan tabel kebenaran

p	q	$\sim p$	$q\vee \sim p$	$\sim p\vee \left ( q\vee \sim p \right )$	$p\rightarrow q$
B	B	S	B	B	B
B	S	S	S	S	S
S	B	B	B	B	B
S	S	B	B	B	B

Dari tabel nampak bahwa $\sim p\vee \left ( q\vee \sim p \right )$ senilai dengan $p\rightarrow q$ dan jawaban yang benar adalah D.

Cara Cepat 

$\sim p\vee \left ( q\vee \sim p \right )\equiv \sim p\vee \sim p\vee q$

$\equiv \sim p\vee q$ (Ingat hal-hal yang perlu anda ketahui untuk ekuivalensi)

$\equiv p\rightarrow q$ (D).

 

Contoh Soal 3

Jika pernyataan $p\wedge \left ( p\rightarrow q \right )$ ekuivalen dengan pernyataan pernyataan ...

A. p        B. q         C.  $p\rightarrow \sim q$        D. $p\wedge q$         E. $p\rightarrow q$ 

Pembahasan

Diketahui: $p\wedge \left ( p\rightarrow q \right )$

Ditanya: $p\wedge \left ( p\rightarrow q \right )$ senilai dengan ?

Jawab:

Cara Biasa 

Dengan menggunkan tabel kebenaran

p	q	$\sim q$	$p\rightarrow q$	$p\wedge \left ( p\rightarrow q \right )$	$p\rightarrow \sim q$	$p\wedge q$
B	B	S	B	B	S	B
B	S	B	S	S	B	S
S	B	S	B	S	B	S
S	S	B	B	S	B	S

dari tabel tampak $p\wedge \left ( p\rightarrow q \right )$ senilai dengan $p\wedge q$

Cara Cepat

$p\wedge \left ( p\rightarrow q \right )\equiv p\wedge \left ( \sim p\vee q \right )$

$\equiv \left ( p\wedge \sim p \right )\vee \left ( p\wedge q \right )$ (Hukum Distributif)

$\equiv \varnothing \wedge \left ( p\wedge q \right )$

$\equiv p\wedge q$

 

Contoh Soal 4

Kontraposisi dari Implikasi " Jika sumber daya manusia baikmaka hasil karyanya baik" adalah...

A. Sumber daya manusia naik dan hasil karya baik

B. Jika hasil karya manusia baik, maka sumber dayanya tidak baik.

C. Jika hasil karya manusia tidak baik,maka sumber dayanya tidak baik.

D. Hasil karya manusia tidak baik dan sumber daya manusia tidak baik

E. Sumber daya manusia baik dan jadi hasil karyanya baik

Pembahasan

Diketahui:  pernyataan implikasi "Jika sumber daya manusia baikmaka hasil karyanya baik"

Ditanya: Kontraposisi pernyataan diatas?

Jawab:

 Ingat Kontraposisi, $p\rightarrow q= \sim q\rightarrow \sim p$ 

Jadi kontraposisinya " Jika hasil karyanya tidak baik, mka sumber daya manusia tidak baik", maka jawabannya adalah D.

Baca Juga: Cara Menentukan Persamaan Lingkaran yanng Berpusat di Titik (a,b) dan menyinggung sebuah garis

 

Kesimpulan

Itulah rangkuman materi logika matematika yang mana saya sertakan beberapa soal dan pembahasan yang akan membantu Anda dalam memahami materi materi pelajaran ini. Jika ada yang kurang atau keliru dalam artikel ini atau ada yang ingin ditanyakan silahkan ketik di kolom komentar dibawah. Semoga materi ke-7 dari pelajaran matematika SMA tentang logika matematika ini bermanfaat dan terima kasih.