Persamaan Kuadrat: Rangkuman Materi dan Contoh Soal

Table of Contents

Rangkuman Materi Persamaan Kuadrat disertai Contoh Soal dan Pembahasan

Rangkuman Materi Persamaan Kuadrat Lengkap, source: omahinfo.com

 

Salam sobat omahinfo, 

Bagi Anda yang memasuki bangku Sekolah Menengah Atas atau lebih dikenal dengan SMA, pasti akan mendapatkan materi persamaan kuarat. Anda merasa sulit untuk memahami apa yang menjadi inti dari materi tersebut. Kali ini saya akan membagikan sedikit pengalaman saya ketika saya belajar matematika tentang materi tersebut. Di artikel ini Anda akan melihat rangkuman materi dengan beberapa contoh soal disertai pembahasan yang mudah Anda mengerti baik menggunakan cara biasa maupun cara cepat . 

Baiklah, tidak perlu lama-lama untuk membicarakan pendahuluan, mari kita belajar materi persamaan kuadrat dilengkapi contoh soal dan jawaban.

Pengertian Persamaan Kuadrat 

Persamaan kuadrat adalah sebuah persamaan yang memiliki variabel tertinggi berpangkat dua (2) atau yang biasa disebut kuadrat. Jika persamaan kuadrat ini diterapkan pada kehidupan disekitar kita maka akan memiliki bentuk kurva parabola. Contohnya seperti lintasan tendangan melambung, lemparan, dan memanah serta masih banyak lainnya. Bagaimana dengan bentuk umum dari persaamaan kuadrat, mari perhatikan penjelasan dibawah ini.

 

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat 

Secara matematis bentuk umum persamaan kuadrat yaitu

$ax^{2}+bx+c=0$

dimana: a, b, cadalah konstansta $a\neq 0$. 

Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Ada tiga metode untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yaitu 

1. Faktorisasi

Persamaan kudrat $ax^{2}+bx+c=0$ difaktorkan menjadi 

$(x+x_{1})(x+x_{2})=0 $

Hal ini berarti akar-akar persamaannya adalah $x_{1}$  dan  $x_{2}$. 

Contoh Soal 1

Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat $x^{2}+8x+15=0$. Tentukan nilai $x_{1}$ dan $x_{2}$. dari persamaan diatas dengan metode faktorisasi?

Pembahasan

Diketahui: Dari persamaan diatas didapat nilai $a = 1$, $b = 8$, dan $c= 15$.

Ditanya: nilai $x_{1}$ dan $x_{2}$ ?

Jawab:

Carilah nilai faktorisasi dari angka 15 dan jika akar-akar itu ditambahkan mendapatkan angka 8

$x^{2}+8x+15=0$ 

$\left ( x+3 \right )\left ( x+5 \right )=0$

$\left ( x+3 \right )=0$ dan $\left ( x+5 \right )=0$

Sehingga didapatkan nilai $x_{1}$ dan $x_{2}$ 

$\left ( x+3 \right )=0$

$x_{1}=-3$, 

$\left ( x+5 \right )=0$

$x_{2}=-5$

Jadi dari persamaan kuadrat $x^{2}+8x+15=0$, didapatkan $x_{1}=-3$ dan $x_{2}=-5$.

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna 

Bentuk persamaan kudrat $ax^{2}+bx+c=0$ diubah kedalam:

$(x+p)^{2}=q$

dengan q > 0. 

 Contoh Soal 2

Diketahui ada persamaan kuadrat $x^{2}-10x+1=0$, tentukan nilai $x_{1}$ dan $x_{2}$ dari persamaan kuadrat tersebut?

Pembahasan

Diket: Persamaan kuadrat $x^{2}-10x+1=0$

Ditanya:  $x_{1}$ dan $x_{2}$ ?

Jawab: 

$x^{2}-10x+1=0$

$x^{2}-10x=-10$

Ingat prisinsip melengkapkan kudrat sempurna $(x+p)^{2}=q$, maka Anda harus mencari persamaan kuadratnya yaitu dengan $ax^{2}+bx+\left | \frac{1}{2} b\right |^{2}= c+\left | \frac{1}{2} b\right |^{2}$, sehingga didapatkan

$x^{2}-10x+\left | \frac{1}{2} 10\right |^{2}= -1+\left | \frac{1}{2} 10\right |^{2}$

$x^{2}-10x+25= -1+25$ 

$\left (x-5\right )^{2}=24$

$p = 5$ dan $q = 24$

Jadi berdasarkan rumus $(x+p)^{2}=q$, didapat nilai $x_{1}$ atau $p = 5$ dan nilai $x_{2}$  atau $q = 24$.

 

3. Rumus ABC Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat  $ax^{2}+bx+c=0$  diuraikan menjadi 

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$  

Diskrimanan dan Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Sifat akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$, ditentukan oleh diskriminan. Diskriminan bisa dikatakan seperti pembeda. Berikut rumus mencari diskriminan

$D=b^{2}-4ac$

1. Jika D > 0, kedua akarnya real dan berbeda
2. Jika D = 0, kedua akarnya real dan sama
3. Jika D < 0,kedua akarnya tidak real

Contoh Soal 3

Jika nilai dikriminan dari persamaan kuadrat $2x^{2}-9x+c= 0$ adalah 121, maka berapa nilai c?

Pembahasan

Diketaui: $2x^{2}-9x+c= 0$ 

                $a=2; b=-9$

                $D= 121$

Ditanya: $c$ ?

Jawab:

$b^{2}-4ac=D$

$\left (-9 \right )^{2}-4.2c=121$

$81 - 8c = 121$

$-8c = 121 - 81$

$-8c = 40$

$c = -5$

Jadi nilai c adalah -5.

Rumus-Rumus Dasar Persamaan Kuadrat

Berikut ini rumus-sumus dasar persamaan kuadrat yang wajib diingat diantaranya:

1. $ x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}$ 
2. $x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}$ 
3. $\left | x_{1}-x_{2} \right |=\frac{\sqrt{D}}{a}$ 

Contoh Soal 4

Jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+2x-8=0$ ialah $x_{1}$ dan $x_{2}$, sedangkan akar-akar persamaan $x^{2}+10x-16p=0$ ialah $3x_{1}$ dan $4x_{2}$, maka berapa nilai p?

 

Pembahasan

Diketahui: 

$x^{2}+2x-8=0$, akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ serta $a=1$, $b=2$, $c=-8$ .... (1)

$x^{2}+10x-16p=0$, akar-akarnya $3x_{1}$ dan $4x_{2}$ serta $a=1$, $b=10$, $c=-16p$ .... (2)

Ditanya: p?

Jawab:

Cara Biasa 

$x^{2}+2x-8=0$

$\left ( x-2 \right )\left ( x+4 \right )=0$

$\left ( x-2 \right )=0$

$x_{1}=2$

$\left ( x+4 \right )=0$

$x_{2}=-4$

Sehingga didapat

$3x_{1}=6; dan; 4x_{2}=-16$

 

Persamaan yang dimaksud dengan mensubtitusikan nilai $3x_{1}$ dan $4x_{2}$ ke $\left ( x-x_{1}\right )\left ( x-x_{2} \right )=0$ , maka didapat

$\left ( x-6 \right )\left ( x+16 \right )=0$

$x^{2}+10x-96=0$

$16p = 96 $

$p = 6  $

 

Cara Cepat

Dengan memanfaatkan rumus dasar $x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}$ . Dari Persamaan 1 di dapat

$x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}$ 

$x_{1}.x_{2}=\frac{-8}{1}$

$x_{1}.x_{2}=-8$

Sehingga

$3x_{1}.4x_{2}=\frac{-16p}{1}$

$12x_{1}.x_{2}=16p$

Dari $x_{1}.x_{2}=-8$, maka didapat

$12(-8)= -16p$

$-16p = -96$

$p = 6$

 

Rumus-Rumus yang Berkaitan Dengan Rumus Dasar

Rumus-Rumus lainnya yang berkaitan dengan rumus dasar diatas, berikut rumus-rumus lainnya:

1. $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}$
2. $x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=\left ( x_{1}-x_{2} \right )\left ( x_{1}+x_{2} \right )$
3. $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}\left ( x_{1}+x_{2} \right )$
4. $x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=\left ( x_{1}-x_{2} \right )^{3}+3x_{1}x_{2}\left ( x_{1}-x_{2} \right )$
5. $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left [ \left ( x_{1}+x_{2} \right )^{^{2}}-2x_{1}x_{2} \right ]^{2}-2\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}$
6. $x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=\left [ \left ( x_{1}+x_{2} \right )^{^{2}}-2x_{1}x_{2} \right ]^{2}\left [ \left ( x_{1}-x_{2} \right )\left ( x_{1}+x_{2} \right ) \right ]$

Perbandingan Akar

Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$. Jika $x_{1}=mx_{2}$ maka

$\frac{b^{2}}{a.c}=\frac{\left ( m+1 \right )^{2}}{m}$ 

Contoh Soal 5

Jika P dan Q adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+4x+a-4=0$, Jika P = 3Q, maka berapa nilai a yang memenuhi persamaan kuadrat diatas?

Pembahasan

Diketahui: Dari persamaan $x^{2}+4x+a-4=0$ didapat

                 $a=1$

                $b=4$

                $c=a-4$

                $P=3Q$

                $m=3$

Ditanya: a?

Jawab:

Cara Biasa

$x^{2}+4x+a-4=0$ ........ (1)

$x_{1}=3Q$ dan $x_{2}=Q$

Maka didapatkan sebuah persamaan

$\left ( x-3Q \right )\left ( x-Q \right )=0$

$x^{2}-4xQ +3Q ^{2}=0$ ..........(2)

Dari persamaan (1) dan (2)

$4x = -4xQ$

$-4Q = 4$

$Q=1$

$3Q^{2}=\left (a-4 \right )$

dari Q = 1, didapat

$3\left ( 1 \right )^{2}=a-4$

$3 = a - 4$

$a = 3 + 4$

$a = 7$

Cara Cepat

Dengan menggunakan rumus $\frac{b^{2}}{a.c}=\frac{\left ( m+1 \right )^{2}}{m}$

$\frac{4^{2}}{1.\left (a-4 \right )}=\frac{\left ( 3+1 \right )^{2}}{3}$

$\frac{16}{a-4}=\frac{16}{3}$

$16.3=16\left ( a-4 \right )$

$3 = a - 4$

$a = 7$

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru (PKB)

Berikut ini adalah cara untuk menyusun persamaan kuadrat baru atau PKB, diantaranya: 

• Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya "m" kali akar-akar $ax^{2}+bx+c=0$.

Rumus Cerdasnya: $ax^{2}+mbx+m^{2}=0$

• Persamaan kuadrat baru yang mana akar-akarnya kebalikan akar-akar $ax^{2}+bx+c=0$.

Rumus cerdasnya: $cx^{2}+bx+a=0$

• Persamaan kuadarat baru yang mana akar-akarnya berlawanan akar-akar $ax^{2}+bx+c=0$. 

Rumus cerdasnya: $ax^{2}-bx+a=0$

• Persamaan kuadrat baru yang mana akar-akarnya $x{_{1}}^{2}$ dan $x{_{2}}^{2}$ dari $ax^{2}+bx+c=0$. 

Rumus cerdasnya: $a^{2}x^{2}-\left ( b^{2}-2ac \right )x+c^{2}=0$

• Persamaan kuadrat baru yang mana akar-akarnya $x{_{1}}^{3}$ dan $x{_{2}}^{3}$ dari $ax^{2}+bx+c=0$. 

Rumus cerdasnya: $a^{3}x^{2}-\left ( b^{2}-2ac \right )x+c^{2}=0$

• Persamaan kuadrat baru yang mana akar-akarnya $x_{1}+m$ dan $x_{2}+m$ dari akar-akar $ax^{2}+bx+c=0$ . 

Rumus Cerdasnya: $a\left ( x-m \right )^{2}+b\left ( x-m \right )+c=0$

• Persamaan kuadrat baru yang mana akar-akarnya $x_{1}-m$ dan $x_{2}-m$ dari akar-akar $ax^{2}+bx+c=0$. 

Rumus Cerdasnya: $a\left ( x+m \right )^{2}+b\left ( x+m \right )+c=0$

• Persamaan kuadrat baru yang mana akar-akarnya $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ dan $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ dari akar-akar $ax^{2}+bx+c=0$.

Rumus Cerdasnya: $acx^{2}-\left ( b^{2}-2ac \right )x+ac=0$

• Persamaan kuadrat baru yang mana akar-akarnya $\frac{1}{x{_{1}}^{2}}$ dan $\frac{1}{x{_{2}}^{2}}$ dari akar-akar $ax^{2}+bx+c=0$. 

Rumus Cerdasnya: $c^{2}x^{2}-\left ( b^{2} -2ac\right )x+a^{2}=0$

• Persamaan kuadrat baru yang mana akar-akarnya $x_{1}+x_{2}$ dan $x_{1}x_{2}$ dari akar-akar $ax^{2}+bx+c=0$ . 

Rumus Cerdasnya: $a^{2}x^{2}+\left ( ab-ac \right )x-b.c=0$

 

Contoh Soal 6

Misalkan p dan q adalah akar-akar persamaan $x^{2}-4x-3=0$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $(p+1)$ dan $(q+1)$ adalah

Pembahasan

Diketahuti: Persamaan kuadrat $x^{2}-4x-3=0$ 

                    $a=1$

                    $b=-4$

                    $c=-3$

                    misal $k = (p +1)$ dan $l = (q+1)$

Ditanya: Persamaan Kuadrat Baru?

Jawab:

Cara Biasa

 $x^{2}-4x-3=0$ , akar-akarnya p dan q

$p+q=\frac{-b}{a}=\frac{4}{1}=4$

$p.q=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $k = (p +1)$ dan $l = (q+1)$ adalah

$k + l =  (p +1) + (q+1) = p + q + 2 = 4 + 2 = 6$

$k.l = (p +1)  (q+1) = pq + (p + q) + 1 = -3 + 4 + 1 = 2$

Karena akar-akar persamaan semua positif maka 

$x^{2}-\left ( k+l \right )x+\left ( k.l \right )=0$

$x^{2}-6x+2=0$

Cara Cepat

Berdasarkan Persamaan kuadrat baru yang mana akar-akarnya $x_{1}+m$ dan $x_{2}+m$ dari akar-akar $ax^{2}+bx+c=0$. Rumus Cerdasnya: $a\left ( x-m \right )^{2}+b\left ( x-m \right )+c=0$ 

$\left ( x-1 \right )^{2}-4\left ( x-1 \right )-3=0$

$x^{2}-2x+1-4x+4-3=0$

$x^{2}-6x+2=0$

Contoh Soal 7

Akar-akar persamaan kuadrat dari $x^{2}+bx+c=0$ adalah $[x_{1}]$ dan $[x_{2}]$. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_{1}+x_{2}$ dan $x_{1}.x_{2}$ ?

Pembahasan

Diketehui: $x^{2}+bx+c=0$, memiliki akar-akar $[x_{1}]$ dan $[x_{2}]$

                  didapat $a = 1$, $b = b$ dan $c = c$

                  PKB memiliki akar-akar $x_{1}+x_{2}$ dan $x_{1}.x_{2}$

Ditanya: Persamaan kuadrat baru ?

Jawab: 

Cara Biasa

$x^{2}+bx+c=0$, akar-akarnya $[x_{1}]$ dan $[x_{2}]$

$x_{1}.x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{b}{1}=-b$

$x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{c}{1}= c$

Persamaan kuadrat baru memiliki akar-akar $x_{1}+x_{2}$ dan $x_{1}.x_{2}$

 $\left \{ x-\left ( x_{1}+ x_{2}\right ) \right \}\left \{ x-\left ( x_{1}.x_{2} \right ) \right \}=0$

$\left \{ x-\left ( -b\right ) \right \}\left \{ x-c \right \}=0$

 $\left ( x+b \right )\left ( x-c \right )=0$

$x^{2}+\left ( b-c \right )x-bc=0$

Cara Cepat

Persamaan kuadrat baru yang mana akar-akarnya $x_{1}+x_{2}$ dan $x_{1}x_{2}$ dari akar-akar $ax^{2}+bx+c=0$. Rumus Cerdasnya: $a^{2}x^{2}+\left ( ab-ac \right )x-b.c=0$

Dari nilai a = 1 maka didapatkan

$1^{2}x^{2}+\left ( 1.b-1.c \right )x-bc=0$ 

$x^{2}+\left ( b-c \right )x-bc=0$

 

Contoh Soal 7: Bentuk Akar

$\sqrt{6+\sqrt{6}+\sqrt{6}+...}=$

Pembahasan

Diketahui :

$\sqrt{6+\sqrt{6}+\sqrt{6}+...}=$

Ditanya: hasilnya misalkan x ?

Jawab:

Cara Biasa

hasil operasi dimisalkan: x

Maka 

$\sqrt{6+\sqrt{6}+\sqrt{6}+...}= x$

 

Dikuadratkan masing-masing ruas

$\left (\sqrt{6+\sqrt{6}+\sqrt{6}+...} \right )^{2}= x^{2}$

$6+\sqrt{6+\sqrt{6}+...}= x^{2}$

Ingat permisalan diatas $\sqrt{6+\sqrt{6}+\sqrt{6}+...}= x$ , Jadi

$6+x= x^{2}$

$x^{2}-x-6=0$

$\left ( x+2 \right )\left ( x-3 \right )=0$

$x=-2, dan x=3$

Syarat  $\sqrt{a}=b$, maka b > 0

Jadi $\sqrt{6+\sqrt{6}+\sqrt{6}+...}=3$

Cara Cepat

$\sqrt{a+\sqrt{a}+\sqrt{a}+...}=x$

Maka x adalah faktor dari a, karena tandanya (+) maka diambil yang besar, sedangkan jika tandanya (-) maka diambil yang kecil

Akar dari 6 adalah 2 dan 3 maka

Jadi $\sqrt{6+\sqrt{6}+\sqrt{6}+...}=3$

Persamaan Kuadrat Pada Putaran Jarum Jam

1. Jarum Panjang dan pendek berimpit.  

Lebihnya = $5n+\frac{5n}{11}$

2. Jarum panjang dan pendek membentuk garis lurus. 

Lebihnya = $5\left ( n+6 \right )+\frac{5\left ( n+6 \right )}{11}$

3. Jarum panjang dan pendek saling tegak lurus.

Lebihnya = $5\left ( n+3 \right )+\frac{5\left ( n+3 \right )}{11}$ atau $5\left ( n-3 \right )+\frac{5\left ( n-3 \right )}{11}$

Contoh Soal 8

Antara pukul 09.30 dan 10.00, jarum panjang dan pendek suatu arloji akan berimpit pada pukul 09.00 lebih....

Pembahasan

Diketahui : Antara pukul 09.30 dan 10.00

                   jarum panjang dan pendek suatu arloji akan berimpit

                  n = 9

Ditanya :  akan berimpit pada pukul 09.00 lebih...?

Jawab : 

Cara Biasa

Lebihnya = $5.n +\frac{\left ( 5.n \right )}{11}= 5.9 +\frac{\left ( 5.9 \right )}{11}= 45+\frac{45}{11}=49\frac{1}{11} menit$ 

Cara Cepat

Untuk menentukan jarum panjang dan jarum pendek yang berimpit , cari jawaban dimana B + C = 10, cara ini berlaku jika pada soal pilihan ganda, tapi jika esai Anda tetaplah harus menghitung sendiri seperti cara biasa.

 

Baca Juga : Rangkuman Materi Fungsi Kuadrat

Untuk contoh soal lainnya akan saya berikan nantinya memalui channel youtube omahinfo (coming soon)

 

Kesimpulan

Itulah rangkuman materi persamaan kuadrat secara singkat dan lebih ke inti yang mana disertai beberapa contoh soal dan jawaban baik yang dikerjankan dengan cara biasa maupun cara cepat dalam menghasilkan jawaban yang benar dan tepat dalam waktu singkat. Jika ada yang kurang atau keliru dalam artikel ini atau ada yang ingin ditanyakan silahkan ketik di kolom komentar dibawah. Semoga materi pertama dari pelajaran matematika SMA tentang persamaan kuadrat ini bermanfaat dan terima kasih.