Fungsi Kuadrat: Ringkasan Materi dan Contoh Soal

Table of Contents

Rangkuman Materi Fungsi Kuadrat yang disetai dengan contoh soal dan pembahasan serta grafik parabola sebagai pelengkap

Rangkuman Materi Fungsi Kuadrat Lengkap, source: omahinfo.com

 

Salam sobat omahinfo,

Setelah kemarin belajar tentang persamaan kuadrat, kali ini kita akan mempelajari materi fungsi kuadrat. Jika dilihat dari judul materi materi kemarin dan kali ini mempunyai persamaan kata 'kuadrat'. Jika kita berbicara tentang fungsi maka hal ini akan berkaitan dengan "$f\left ( x \right )=y$". Dalam artikel ini, Saya akan memberikan rangkuman materi tentang fungsi kuadrat baik meliputi menentukan fungsi kuadrat, titik balik parabola, koefisien grafik yang disertai contoh soal dan jawaban agar Anda lebih mengerti apa yang diajarkan dalam materi fungsi kuadrat.

Tak perlu berlama-lama menjelaskan, lebih baik kita belajar ke materi fungsi kuadrat dibawah ini.

 

Pengertian Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi yang memiliki variabel dengan derajata atau pangkat tertinggi sama dengan dua. Jadi bisa saya katakan bahwa materi fungsi ini mempunyai hubungan atau kaitan dengan materi persamaan kuadrat yang saya tulis. 

Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Secara umum, bentuk umum fungsi kuadrat sebagai berikut 

$f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c$

dengan x adalah variabel bebas, a dan b adalah koefisien, serta c adalah konstanta, serta $a\neq 0$.  

Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat sebenarnya bisa Anda gambarkan dalam koordinat kartesius sehingga diperolehlah sebuah grafik fungsi kuadrat. Dimana dalam koordinat kartesius, sumbu x disebut sebagai domain, sedangkan sumbu y disebut sebagai kodomain. Sama halnya dengan persamaan kuadrat yang memiliki lintasan berbentuk parabola, grafik dari fungsi kuadrat juga akan membentuk parabola, sehingga sering disebut grafik parabola.

Baca Juga: Rangkuman Materi Persamaan Kuadrat

 

Cara Menentukan Fungsi Kuadrat

cara menentukan fungsi kuadrat berdasarkan titik puncak atau balik, source : omahinfo.com

Dari gambar diatas berdasarkan titik puncak parabola, berikut ini cara cepat untuk menentukan fungsi kuadrat

1. $f\left ( x \right )=-\frac{1}{p}x^{2}+2x$
2. $f\left ( x \right )=-\frac{1}{p}x^{2}-2x$
   
3. $f\left ( x \right )=\frac{1}{p}x^{2}+2x$
4. $f\left ( x \right )=\frac{1}{p}x^{2}-2x$
   

Penerapan fungsi-fungsi diatas dengan berbagai titik yang sama, source: omahinfo.com

Menentukan Fungsi Kuadrat Sembarang

Memenetukan sebuah fungsi kuadrat sembarang dapat dilakukan dengan beberapa cara dibawah ini:

1. Jika diketahui titik balik parabola (p,q) dan melalui sebuah titik, maka dapat diperoleh persamaan parabola sebagai berikut:$f\left ( x \right )=a\left ( x-p \right )^{2}+q$
2. Jika diketahui 2 titik potong terhadap sumbu x di $\left ( x_{1},0 \right )$ dan $\left ( x_{2},0 \right )$ dan melalui sebuah titik potong lain, maka dapat diperoleh persamaan parabola sebagai berikut: $f\left ( x \right )=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )$
3. Jika diketahui 3 titik sembarang maka dapat diperoleh persamaan parabola sebagai berikut: $f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c$

Untuk menentukan nilai dari a, b, dan c dapat ditentukan menggunakan metode eliminasi atau substitusi. 

 

Contoh Soal 1

Apabila titik p (4,4) adalah titik puncak parabola, maka tentukanlah persamaan parabola yang sesuai gambar diatas?

Pembahasan

Diketahui: titik p (4,4) puncak parabola, sehingga didapat 

                  $x_{p}=4$

                  $y_{p}=4$

                  melalui titik (0,0) 

Ditanya: persamaan fungsi kuadrat?

Jawab:

Cara Biasa

y atau $f\left ( x \right )=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}$

$y=a\left ( x-4 \right )^{2}+4$ 

Karena melalui titik (0,0), sehingga didapat

$0=a\left ( 0-4 \right )^{2}+4$

$0=16a+4$

$16a=-4$

$a=-\frac{4}{16}=-\frac{1}{4}$

karena $a=-\frac{1}{4}$,dan subtitusikan ke $y=a\left ( x-4 \right )^{2}+4$ , didapat

$y=-\frac{1}{4}\left ( x-4 \right )^{2}+4$ 

$y=-\frac{1}{4}\left ( x^{2}-8x+16 \right )+4$

$y=-\frac{1}{4} x^{2}+2x-4+4$

$y=-\frac{1}{4}x^{2}+2x$

Cara Cepat

Berdasarkan caramenentukan fungsi kuadrat, titik puncak parabola berada di kuadran 1, sehingga berlaku:

$f\left ( x \right )=-\frac{1}{p}x^{2}+2x$

$y=-\frac{1}{4}x^{2}+2x$

gambar grafik fungsi $y=-\frac{1}{4}x^{2}+2x$, source:omahinfo.com

 

Contoh Soal 2

Diketahui sebuah parabola melalui pusat koordinat yang mempunyai titik puncak balik (-6,-6). Tentukan persamaan parabola tersebut?

Pembahasan

Diketahui: titik (-6,-6) puncak balik, sehingga didapat 

                  $x_{p}=-6;y_{p}=-6$

                 melalui titik (0,0) 

Ditanya: persamaan fungsi kuadrat?

Jawab:

y atau $f\left ( x \right )=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}$

$y=a\left ( x+6 \right )^{2}-6$ 

Karena melalui titik (0,0), sehingga didapat

$0=a\left ( 0+6 \right )^{2}-6$

$0=36a-6$

$36a=6$

$a=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

karena $a==\frac{1}{6}$,dan subtitusikan ke $y=a\left ( x+6 \right )^{2}-6$  , didapat

$y=\frac{1}{6}\left ( x+6 \right )^{2}-6$ 

$y=\frac{1}{6}\left ( x^{2}+12x+36 \right )-6$

$y=\frac{1}{6} x^{2}+2x+6-6$

$y=\frac{1}{6}x^{2}+2x$

 Cara Cepat

Berdasarkan caramenentukan fungsi kuadrat, titik puncak parabola berada di kuadran 3, sehingga berlaku:

$f\left ( x \right )=\frac{1}{p}x^{2}+2x$

$y=\frac{1}{6}x^{2}+2x$

gambar grafik fungsi $y=\frac{1}{6}x^{2}+2x$, source: omahinfo.com

 

Menentukan Titik Balik atau Titik Ekstrim Parabola

$f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c$ dengan $a\neq 0$,dan a,b serta c elemen bilangan Real.

1. Titik Balik

Titik balik (P): $\left ( -\frac{b}{2a} , \frac{D}{-4a}\right )$,

dengan $D=b^{2}-4ac$.

                        $x= -\frac{b}{2a}$ = Sumbu Simetri (membagi grafik fungsi jadi 2 di titik puncak)

                        $y=\frac{D}{-4a}$ = disebut dengan nilai maksimum atau minimum

• Titik $y=\frac{D}{-4a}$ akan bernilai maksimum, jika a < 0  dengan grafik terbuka kebawah.
• Titik $y=\frac{D}{-4a}$ akan bernilai minimum, jika a > 0  dengan grafik terbuka keatas.

 

2. Harga-Harga Definit

1. Definit Positif = selalu bernilai positif = selalu berada diatas sumbu x dengan syarat D < 0 dan a > 0.
2. Definit Negatif = selalu bernilai negatif= selalu berada dibawah sumbu x dengan syarat D > 0 dan a < 0.

 

Cara Menentukan Tanda Koefisien Grafik Fungsi Kuadrat 

Fungsi kuadrat $f\left ( x \right )= ax^{2}+bx+c$

1. Menentukan a:

• Parabola terbuka ke atas, maka a > 0
• Parabola terbuka ke bawah, maka a < 0

2. Menentukan b: berdasarkan kurva parabola

• Parabola berat ke kanan: putar ke kanan searah jarum jam
• Parabola berat ke kiri: putar ke kiri berlawanan arah jarum jam

3. Menentukan c:

• Parabola memotong sumbu y didaerah (+) berarti c > 0
• Parabola memotong sumbu y didaerah (-) berarti c < 0
• Parabola melalui titik pusat berarti c = 0

4. Menentukan D:

• Grafik fungsi kuadrat f(x) memotong sumbu x di dua titik, maka D > 0
• Grafik fungsi kuadrat f(x) menyinggung sumbu x, maka D = 0
• Grafik fungsi kuadrat f(x)tidak memotong sumbu , maka D < 0 

 

 Contoh Soal 3

Gambar grafik fungsi kuadrat $y= ax^{2}+bx+c$, source: omahinfo.com

 Jika grafik fungsi  $y= ax^{2}+bx+c$ seperti gambar diatas ini, maka tentukan nilai $a+b+c=...$

Pembahasan

Diketahui: titik puncak parabola (2,2), sehingga didapat 

                  $x_{p}=2$

                  $y_{p}=2$

                  melalui titik (1,0) dan (3,0)

Ditanya:  nilai $a+b+c=...$ ?

Jawab: 

Cara Biasa

$y=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}$

$y=a\left ( x-2 \right )^{2}+2$

Kita ambil salah satu titik yang dilalui persamaan grafik fungsi ntersebut, misal (1,0), didapat:

$0=a\left ( 1-2 \right )^{2}+2$

$0=a\left ( -1 \right )^{2}+2$

$0=a+2$

$a=-2$

Dari  $a=-2$, kita substitusikan ke $y=a\left ( x-2 \right )^{2}+2$, sehingga didapat

$y=-2\left ( x-2 \right )^{2}+2$

$y=-2\left ( x^{2}-4x+4 \right )+2$

$y=-2 x^{2}+8x-8+2$

$y=-2 x^{2}+8x-6$

Sehingga didapat nilai a=-2, b=8 dan c=-6, didapat nilai

$-2+8-6=0$

Cara Cepat

dari persamaan  $y= ax^{2}+bx+c$melalui salah satu titik (1,0), kemudian dari titik tersebut kita masukan ke persamaan dehingga didapat

$ax^{2}+bx+c=y$  

$a1^{2}+(b.1)+c=0$   

$a+b+c=0$   

 

Contoh Soal 4

Jarak kedua titik  $y= x^{2}-px+24$ dengan sumbu x adalah 5 satuan panjang, maka tentukan nilai p?

Pembahasan

Diketahui: $y= x^{2}-px+24$

                  Jarak kedua titik 5 satuan

Ditanya: nilai p?

Jawab:

Cara Biasa

$y= x^{2}-px+24$

Ingat $\left | x_{1}-x_{2} \right |=\frac{\sqrt{D}}{a}$ , sehingga didapat

$5=\frac{\sqrt{(-p)^{2}-4.1.24}}{1}$

Kedu ruas dikuadratkan, sehingga didapat

$25=p^{2}-96$

$p^{2}=25+96\rightarrow p^{2}=121$

$p=\pm 11$ 

Cara Cepat

$y= x^{2}-px+24$

Carilah faktor dari 24 yang selisihnya 5, sehingga Anda akan mendatka nilai

$x_{1}=3$, $x_{2}=8; x_{1}=-3$, $x_{2}=-8$

sehingga didapat nilai p

$p_{1}=3+8= 11; p_{2}=-3-8= -11$

Jadi nilai $p=\pm 11$

gambar grafik fungsi $y= x^{2}-px+24$, source: omahinfo.com

Baca Juga: Rangkuman Materi Fungsi Invers Dan Komposisi

Untuk contoh soal lainnya akan saya berikan nantinya memalui channel youtube omahinfo (coming soon)

Kesimpulan

Itulah rangkuman materi fungsi kuadrat serta contoh soal biasa dan pengembangan dengan disertai cara menjawab baik cara biasa maupun cara cepat. Jika ada yang kurang atau keliru dalam artikel ini atau ada yang ingin ditanyakan silahkan ketik di kolom komentar dibawah. Semoga artikel tentang pelajaran matematika SMA tentang fungsi kuadrat ini bermanfaat bagi Anda semua dan terima kasih banyak.